Diophantische Gleichungen

2021 Fachkurs MATHEMATIK (Oberstufe)

Diophantische Gleichung haben (leider) nichts mit zweiköpfigen Elefanten zu tun. Der Name geht (mal wieder) zurück auf einen alten Griechen: Diophantos von Alexandria.  Dieser hat sich schon damals mit den rationalen Lösungen von unter anderem linearen und quadratischen Gleichungen in einer oder mehrerer Variablen beschäftigt.

Eine Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten, für die man ganzzahlige bzw. rationale Lösungen sucht, wird deshalb heute als Diophantische Gleichung bezeichnet. Und diese erstmal vielleicht einfach klingenden Objekte sind alles andere als einfach. Es kann sogar schon hochgradig nicht-trivial – oder sogar unmöglich – sein zu beweisen, dass eine gegebene diophantische Gleichung gar keine Lösung besitzt. Als Großer Fermatscher Satz ist folgendes Beispiel bekannt: Ist n > 2, besitzt die Gleichung

an + bn = cn

keine ganzzahlige Lösung. Die Behauptung wurde von Pierre Fermat als eine Randbemerkung in seiner Ausgabe der „Arithmetika“ von Diophantos notiert – zusammen mit der Behauptung er kenne einen einfachen Beweis für die Aussage. Tatsächlich konnte der Satz erst 1994 von Andrew Wiles bewiesen werden und der gefundene Beweis ist alles andere als einfach.

Deshalb können wir uns im Kurs zwar nicht damit, aber dafür mit vielen ähnlichen spannenden Fragestellungen beschäftigen. So beispielsweise mit den Pellschen Gleichungen, zu deren Lösung wir Kettenbrüche einführen werden, sowie der Frage, welche Zahlen sich als Summe von zwei bzw. vier Quadraten schreiben lassen. Vor allem werden wir aber ganz tief in die faszinierende Welt der Zahlentheorie abtauchen und dabei auch viele spannende Ideen aus Geometrie und Algebra kennenlernen. Das wird diophantastisch!

Kursleitung

Zur Arbeit im Kurs

Die Schüler*innen werden sich zusammen mit studentischen Betreuer*innen in Zweier- oder Dreierteams im Vorfeld in einen Themenkomplex einarbeiten und ein bis zwei Sitzungen zu diesem Thema während der Akademie gestalten. Dies muss nicht in klassischer Referatsstruktur passieren, sondern der gesamte Kurs kann in verschiedener Weise einbezogen werden. Die Themen und Gruppen werden bei einem gemeinsamen Vortreffen (voraussichtlich im April) eingeteilt. Pro Gruppe wird am Ende für die Dokumentation der Schülerakademie ein schriftlicher Beitrag zu ihrem Thema von etwa zwei Seiten erwartet.

Insgesamt soll es im Kurs ganz anders als in der Schule zugehen: Wir wollen gemeinsam und ohne Leistungsdruck spannende und anspruchsvolle Mathematik lernen. Interessen und viele Fragen sind dabei mehr als erwünscht. Neben den Vorträgen wird es auch viel Zeit geben, gemeinsam an Aufgaben oder Miniprojekten zu arbeiten. Im Fall des digitalen Stattfindens der Schülerakademie wird der Kurs sowie die Vorbereitung in ähnlicher Form über Zoom stattfinden.

Veröffentlicht im Oktober 2020 in Kurse von ; zuletzt geändert: 19. Oktober 2020
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